Алгебра · урок 2
Функція та її графік
10 клас
45 хвилин
Повторення та систематизація знань
Головна ідея
Функція описує залежність однієї величини від іншої, а графік дає змогу побачити цю залежність
і визначити її основні властивості.
1. Функція в реальному житті. Що таке функція
5 хв
Приклад із піцою
Уявімо, що піца коштує 300 грн, а кожна додаткова порція сиру — ще 20
грн.
Позначимо:
- x — кількість додаткових порцій сиру;
- y — загальна вартість піци.
Тоді:
y = 300 + 20x
Швидкі запитання
- якщо x = 0, то y = 300 грн;
- якщо x = 2, то y = 340 грн;
- якщо x = 5, то y = 400 грн.
Запитання класу: чи може при x = 2 піца одночасно коштувати 340 грн і 380 грн?
Ні. Кожному значенню x відповідає одне значення y.
Ми щойно задали функцію: вартість піци залежить від кількості додаткових порцій сиру.
Означення
Функція — це залежність, за якої кожному значенню аргументу з області визначення
відповідає єдине значення функції.
y = 2x + 3
- x — незалежна змінна, або аргумент;
- y — залежна змінна, або значення функції;
- 2x + 3 — правило, за яким значенню x ставиться у відповідність значення y.
Особливу увагу звернути на слово «єдине».
Задає функцію
y = x2Кожному x відповідає одне значення y.
Не задає функцію
y2 = xПри x = 4 можливі y = 2 і y = −2.
2. Способи задання функції
4 хв
Функцію можна задати:
- словесно;
- формулою;
- таблицею;
- графіком.
y = 2x + 1
| x |
−2 |
−1 |
0 |
1 |
2 |
| y |
−3 |
−1 |
1 |
3 |
5 |
Формула → таблиця → точки → графік
3. Область визначення та область значень
7 хв
Область визначення функції — множина всіх значень аргументу, для яких функція має зміст.
Область значень функції — множина всіх значень, яких може набувати залежна змінна y.
Запам’ятати: область визначення — які значення може набувати x;
область значень — які значення може набувати y.
Приклад 1
y = 3x − 5D(f) = ℝ
Приклад 2
y = 1 / (x − 2)
x ≠ 2
D(f) = (−∞; 2) ∪ (2; +∞)
Приклад 3
y = √(x + 4)
x ≥ −4
D(f) = [−4; +∞)
Область значень за знайомим графіком
y = x2D(f) = ℝ, E(f) = [0; +∞)
На цьому уроці область значень визначаємо переважно за знайомими графіками.
4. Як читати графік функції
15 хв
Працюємо з графіком у двох напрямах:
- від заданого x рухаємося до графіка, а потім до осі y — знаходимо f(x);
- від заданого y рухаємося до графіка, а потім до осі x — знаходимо відповідні значення аргументу.
Запитання до графіка
- Яка область визначення функції?
- Яка область значень функції?
- Чому дорівнює f(2)?
- Чому дорівнює f(0)?
- При яких значеннях x виконується f(x) = 2?
- Назвати нулі функції.
- На яких проміжках f(x) > 0?
- На яких проміжках f(x) < 0?
- На яких проміжках функція зростає?
- На яких проміжках функція спадає?
- Якого найбільшого значення набуває функція?
- Якого найменшого значення набуває функція?
5. Нулі, знак, зростання і спадання
7 хв
Нулі та знак функції
Нуль функції — значення аргументу, при якому f(x) = 0.
- графік вище осі Ox → f(x) > 0;
- графік нижче осі Ox → f(x) < 0;
- графік перетинає або торкається осі Ox → f(x) = 0.
Зростання і спадання
На проміжку функція зростає, якщо при русі графіком зліва направо значення функції
збільшуються.
На проміжку функція спадає, якщо при русі графіком зліва направо значення функції
зменшуються.
Важливо називати не лише «зростає» або «спадає», а й відповідний проміжок.
6. Основні графіки, які потрібно впізнавати
4 хв
| Функція |
Загальний вигляд графіка |
| y = kx + b |
Пряма |
| y = x2 |
Парабола |
| y = k / x |
Гіпербола |
| y = √x |
Крива, що починається в точці (0; 0) і розташована при x ≥ 0 |
| y = |x| |
V-подібний графік з вершиною в точці (0; 0) |
7. Підсумок
3 хв
Швидкі запитання
- Що називають функцією?
- Що таке аргумент?
- Що таке значення функції?
- Що означає D(f)?
- Що означає E(f)?
- Що таке нуль функції?
- Як за графіком визначити, де функція додатна?
- Як визначити проміжки зростання і спадання?
Наскрізна логіка: Залежність → формула → таблиця → графік → властивості функції.
Очікуваний результат
- пояснити, що таке функція, аргумент і значення функції;
- назвати основні способи задання функції;
- розрізняти область визначення й область значень;
- переходити від простої формули до таблиці значень;
- читати значення функції з графіка;
- знаходити нулі функції та проміжки знакосталості;
- визначати проміжки зростання і спадання;
- упізнавати основні знайомі графіки.