Алгебра · урок 1

Алгебраїчні вирази. Тотожні перетворення. Допустимі значення змінних

10 клас 45 хвилин Повторення та систематизація знань

Головна ідея Перш ніж перетворювати вираз, потрібно зрозуміти його будову та визначити, при яких значеннях змінної він має зміст.

1. Алгебраїчний вираз, рівняння, нерівність і тотожність

7 хв

Порівняти математичні записи:

3x − 5

3x − 5 = 7

3x − 5 > 7

y = 3x − 5

Запис	Що він означає
3x − 5	Алгебраїчний вираз
3x − 5 = 7	Рівняння
3x − 5 > 7	Нерівність
y = 3x − 5	Формула, яка задає функціональну залежність

Що варто пригадати

змінна;
числовий коефіцієнт;
степінь;
одночлен і многочлен;
алгебраїчний дріб;
рівність і тотожність.

2(x + 3) = 2x + 6Рівність правильна для всіх допустимих значень змінної, тому це тотожність.

2(x + 3) = 10Рівність правильна лише для певного значення змінної, тому це рівняння.

x² = xЧи є ця рівність тотожністю? Ні. Вона правильна лише при x = 0 та x = 1.

2. Коли вираз має зміст. Допустимі значення змінної

10 хв

Перед перетворенням виразу ставимо запитання: які значення змінної тут дозволені?

Ділення на нуль неможливе

5 / (x − 2)Вираз має зміст, якщо x ≠ 2.

Під квадратним коренем не може бути від’ємне число

√(x + 3)

x + 3 ≥ 0, отже x ≥ −3

Корінь у знаменнику

1 / √(x + 2)Підкореневий вираз має бути додатним.

x + 2 > 0, отже x > −2

Поєднання кількох обмежень

√(x + 1) / (x − 4)

x + 1 ≥ 0

x − 4 ≠ 0

Отже: x ≥ −1, x ≠ 4.

3. Структура і читання виразу

5 хв

(x − 2)² / (x + 1)

Яка дія виконується останньою?
Що є чисельником?
Що є знаменником?
Який вираз підноситься до квадрата?
При якому значенні x вираз не має змісту?

Прочитати вирази словами

3(x − 2)²

(x + 5) / (2x − 1)

√(4 − x)

1 / √(x + 2)

4. Базові тотожні перетворення

10 хв

Розкриття дужок

3(x − 2) = 3x − 6

−(x + 4) = −x − 4

Зведення подібних доданків

3x − 2 + 5x + 7 = 8x + 5

Винесення спільного множника

6x² − 9x = 3x(2x − 3)

Основні формули скороченого множення

(a + b)² = a² + 2ab + b²

(a − b)² = a² − 2ab + b²

a² − b² = (a − b)(a + b)

Формули використовуємо у двох напрямах: розкрити дужки або розкласти вираз на множники.

Розкрити

(x − 3)² → x² − 6x + 9

Розкласти

x² − 6x + 9 → (x − 3)²

Один і той самий вираз можна подавати в різних тотожно рівних формах.

Корисно нагадати: √(x²) = |x|, а не x.

5. Скорочення дробів і збереження обмежень

7 хв

Не кожне зовні зручне перетворення можна виконувати без перевірки умов.

x(x − 2) / xСкорочення на x можливе лише за умови x ≠ 0.

x(x − 2) / x = x − 2, при x ≠ 0

Ще один приклад

(x² − 4) / (x − 2)

(x − 2)(x + 2) / (x − 2)

На області допустимих значень початкового виразу:

(x² − 4) / (x − 2) = x + 2, при x ≠ 2

Початковий вираз не має змісту при x = 2, тому це обмеження не можна втрачати після скорочення.

6. Коротке нагадування про числові проміжки

2 хв

x ≥ −3 ⇔ x ∈ [−3; +∞)

x > −2 ⇔ x ∈ (−2; +∞)

Повне повторення всіх типів числових проміжків доцільно винести в окремий наступний блок або урок.

7. Підсумкове завдання

4 хв

Комплексна вправа

(x² − 9) / (x − 3)

Назвати чисельник і знаменник.
Знайти допустимі значення x.
Розкласти чисельник на множники.
Спростити вираз.
Пояснити, чому не можна втрачати умову x ≠ 3.

Розв’язання:

x ≠ 3

x² − 9 = (x − 3)(x + 3)

(x² − 9) / (x − 3) = x + 3, при x ≠ 3